Sumas de Riemann en notación sigma Concepto y ejercicio

La notación de suma (o notación sigma) nos permite escribir una suma con muchos términos en una sola expresión.

 Mientras que la notación de suma tiene muchos usos en las matemáticas (y especialmente en el cálculo), queremos enfocarnos en cómo podemos usarla para escribir sumas de Riemann.

Ejemplo de escritura de una suma de Riemann en notación de suma

Imagina que estamos aproximando el área bajo la gráfica de $f(x)=\sqrt x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root entre $x=0.5$x, equals, 0, point, 5 y $x=3.5$x, equals, 3, point, 5.

Y digamos que decidimos hacerlo escribiendo la expresión para una suma de Riemann derecha con cuatro subdivisiones iguales, usando notación de suma.

$\small{0.5}$$\small{1}$$\small{1.5}$$\small{2}$$\small{2.5}$$\small{3}$$\small{3.5}$$\small{0.5}$$\small{1}$$\small{1.5}$$\small{2}$$\small{2.5}$$\small{3}$$\small{3.5}$$y$$x$$\blueD{y=\sqrt x}$

En la gráfica de la función y, la región sombreada está dividida en 4 rectángulos de ancho 0.75. Cada rectángulo toca la curva en la esquina superior derecha.

Sea $A(i)$A, left parenthesis, i, right parenthesis el área del $i.^{\text{o}}$i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo en nuestra aproximación.

$\small{0.5}$$\small{1}$$\small{1.5}$$\small{2}$$\small{2.5}$$\small{3}$$\small{3.5}$$\small{0.5}$$\small{1}$$\small{1.5}$$\small{2}$$\small{2.5}$$\small{3}$$\small{3.5}$$y$$x$$\blueD{y=\sqrt x}$$A(1)$$A(2)$$A(3)$$A(4)$

El área de los rectángulos es A de 1, A de 2, A de 3 y A de 4.

La suma de Riemann completa puede escribirse de la siguiente manera:

$A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i)$A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis

Lo que necesitamos hacer ahora es encontrar una expresión para $A(i)$A, left parenthesis, i, right parenthesis.

La longitud del intervalo $[0.5,3.5]$open bracket, 0, point, 5, comma, 3, point, 5, close bracket es $3$3 unidades y queremos $4$4 subdivisiones iguales, por lo que la $\greenD{\text{base}}$start color #1fab54, start text, b, a, s, e, end text, end color #1fab54 de cada rectángulo mide $3\div 4=\greenD{0.75}$3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54 unidades.

La $\goldD{\text{altura}}$start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es el valor de $f$f en el extremo derecho del rectángulo (porque es una suma de Riemann derecha).

Sea $\blueD{x_i}$start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd el extremo derecho del $i.^{\text{o}}$i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo. Para encontrar $x_i$x, start subscript, i, end subscript para cualquier valor de $i$i, comenzamos en $x=0.5$x, equals, 0, point, 5 (el extremo izquierdo del intervalo) y sumamos repetidamente la longitud común $\greenD{0.75}$start color #1fab54, 0, point, 75, end color #1fab54.

$y$$x$$\blueD{y=\sqrt x}$$x_1$$x_2$$x_3$$x_4$$0.5$$\small\greenD{+0.75}$$\small\greenD{+0.75}$$\small\greenD{+0.75}$$\small\greenD{+0.75}$

El lado izquierdo del primer rectángulo está en x = 0.5. Suma 0.75 4 veces para obtener los lados de los rectángulos, desde x sub 1 hasta x sub 4.

Por lo tanto, la fórmula de $\blueD{x_i}$start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd es $\blueD{0.5+0.75i}$start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd. Ahora, la $\goldD{\text{altura}}$start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada rectángulo es el valor de $f$f en su extremo derecho:

$\goldD{f(}\blueD{x_i}\goldD )=\goldD{\sqrt{\blueD{x_i}}}=\goldD{\sqrt{\blueD{0.5+0.75i}}}$start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, point, 5, plus, 0, point, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10

Y así hemos llegado a una expresión general para el área del $i.^\text{o}$i, point, start superscript, start text, o, end text, end superscript rectángulo:

$\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{base}}\cdot\goldD{\text{altura}} \\\\ &=\greenD{0.75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0.5+0.75i}}} \end{aligned}$

Ahora todo lo que tenemos que hacer es sumar esta expresión para valores de $i$i de $1$1 a $4$4:

$\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0.75\cdot\sqrt{0.5+0.75i} \end{aligned}$

¡Y terminamos!