Notación Calculo Integral (Simbología)

Definición:

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, una integral básicamente es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El calculo integral es una rama de las matemáticas dedicada al proceso de integración, es muy común en la ingeniería, la integral definida de una función represente el área limitada por la gráfica de la función.

El origen del calculo integral se remonta a la época de Arquímedes, quien obtuvo resultados importantes con su aplicación, los primeros en usar el calculo integral fueron científicos como Rene Descartes, Newton y Leibniz.

Uno de los aportes mas importantes de Newton al calculo integral fue la creación del teorema fundamental, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos (aunque la derivada surgió 20 siglos después).

El primer curso de calculo integral fue escrito por J. Bernoulli en 1792 con lo que se logro la introducción del calculo integral, Euler fue quien llevo el calculo hasta sus ultimas consecuencias logrando que los métodos de integración indefinida alcanzaran prácticamente su nivel actual.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo explica que la integración y la derivación son operaciones inversas (como lo son la suma y la resta). Así como la resta es la operación contraria a la suma; el cálculo integral es la operación inversa al calculo diferencial.

En el cálculo integral se emplean las diferenciales, de modo que a la derivada de una función se le agrega el factor dx

DF(x)= f´(x)dx

Diferenciales

La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.

DF(x)= f´(x)dx

Definición de integral indefinida

En cálculo integral se puede enunciar el problema:

-Dada la diferencial de una función, hallar la función

-La operación la indicamos con el símbolo: ∫

-Por lo tanto, se expresa: ∫ f´(x) dx = f(x)

Calculo integral

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración. Básicamente, la integración es el proceso inverso de la derivación.

Al resolver una integral obtendremos la ANTIDERIVADA (también llamada PRIMITIVA)

Anti derivada o primitiva

En el curso de calculo diferencial vimos que a partir de una función y=f(x) hallábamos su función derivada y´=f´(x).

Por ejemplo, dada f(x)=x³, su derivada es f´(x)=3x²

En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen a una función derivada f´(x). Es decir, es necesario realizar el camino inverso a la derivación. Este proceso se conoce como anti derivación o integración, y la función F a hallar es una primitiva o anti derivada de la función dada.

Por ejemplo, dada f(x)=3x², ¿Cuál es su primitiva? F(x)?, es decir ¿Cuál es la función que al ser derivada resulta 3x²?

En respuesta al planteamiento anterior, podemos decir que la antiderivada de f(x) = 3x2 es F(x)=x3 , basándonos en el hecho de que F’(x)=(x3)’=3x2….

Sin embargo, observe que:

De lo anterior podemos afirmar que, F(x)= x3 + C, donde C es cualquier constante, es la antiderivada general de f(x) = 3x2
Al resolver la integral indefinida, obtenemos por excelencia la antiderivada o primitiva de la función:

Donde C es la constante de integración o constante arbitraria.
De manera que la ecuación anterior se lee como:
La integral indefinida de f respecto a x es: F(x) + C
El adjetivo indefinida se usa porque la constante C es arbitraria o indefinida.
Ahora bien, si retomamos la pregunta… Dada f(x) = 3x², ¿Cuál es su primitiva F(x)?, es decir ¿Cuál es la función que al ser derivada resulta 3x²?
Utilizando la integración, para responder, tenemos el siguiente planteamiento:

Para obtener la antiderivada, debemos recurrir a las tablas de integración o algún método de integración.

Este diagrama sintetiza lo que comprende el calculo integral.
Consiste en obtener la PRIMITIVA de una función, mediante la INTEGRAL INDEFINIDA, que pueden resueltas a través de tablas o de métodos de integración.
Gracias a las integrales indefinidas podemos resolver las INTEGRALES DEFINIDAS, que nos permiten el cálculo de áreas bajo la curva y de volúmenes de sólidos en revolución.
La aplicación de las Integrales definidas es muy común en la ingeniería y en la matemática en general. Se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.